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综合学习

排课系统贪心算法

排课问题早在70年代就证明是一个NP完全问题,即算法的计算时间是呈指数增长的,这一论断确立了排课问题的理论深度。对于NP问题完全问题目前在数学上是没有一个通用的算法能够很好地解决。然而很多NP完全问题目具有很重要的实际意义,例如。大家熟悉地路由算法就是很典型的一个NP完全问题,路由要在从多的节点中找出最短路径完成信息的传递。既然都是NP完全问题,那么很多路由算法就可以运用到解决排课问题上,如Dijkstra算法、节点子树剪枝构造网络最短路径法等等。

排课系统贪心算法

目前大家对NP 完全问题研究的主要思想是如何降低其计算复杂度。即利用一个近似算法来代替,力争使得解决问题的时间从指数增长化简到多项式增长。结合到课表问题就是建立一个合适的现实简约模型,利用该简约模型能够大大降低算法的复杂度,便于程序实现,这是解决排课问题一个很多的思路。

在高等院校中,培养学生的主要途径是教学。在教学活动中,有一系列管理工作,其中,教学计划的实施是一个重要的教学环节。每学期管理人员都要整理教学计划,根据教学计划下达教学任务书,然后根据教学任务书编排课程表。在这些教学调度工作中,既有大量繁琐的数据整理工作,更有严谨思维的脑力劳动,还要填写大量的表格。因此工作非常繁重。

加之,随着教学改革的进行及“211”工程的实施,新的教育体制对课表的编排提出了更高的要求。手工排课时,信息的上通下达是极其麻烦的,而采用计算机排课,教学中的信息可以一目了然,对于优化学生的学习进程,评估每位教师对教学的贡献,领导合理决策等都具有重要的意义,必将会大大推进教学的良性循环。

2课题的应用领域

本课题的研究对开发高校排课系统有指导作用。

排课问题的核心为多维资源的冲突与抢占,对其研究对类似的问题(特别是与时间表有关的问题:如考试排考场问题、电影院排座问题、航空航线问题)也是个参考。

3 课题的现状

年代末,国外就有人开始研究课表编排问题。1962年,Gotlieb曾提出了一个课表问题的数学模型,并利用匈牙利算法解决了三维线性运输问题。次后,人们对课表问题的算法、解的存在性等问题做了很多深入探讨。但是大多数文献所用的数学模型都是Gotlieb的数学模型的简化或补充,而至今还没有一个可行的算法来解决课表问题。

近40年来,人们对课表问题的计算机解法做了许多尝试。其中,课表编排的整数规划模型将问题归结为求一组0-1变量的解,但是其计算量非常大。解决0-1线性优化问题的分支一定界技术却只适用也规模较小的课表编排,Mihoc和Balas(1965)将课表公式化为一个优化问题,Krawczk则提出一种线性编程的方法。Junginger将课表问题简化为三维运输问题,而Tripathy则把课表问题视作整数线性编程问题并提出了大学课表的数学模型。

此外,有些文献试图从图论的角度来求解排课表的问题,但是图的染色问题也是NP完全问题,只有在极为简单的情况下才可以将课表编排转化为二部图匹配问题,这样的数学模型与实际相差太远,所以对于大多数学校的课表编排问题来说没有实用价值。

进入九十年代以后,国外对课表问题的研究仍然十分活跃。比较有代表的有印度的Vastapur大学管理学院的ArabindaTripathy、加拿大Montreal大学的Jean Aubin和Jacques Ferland等。目前,解决课表方法的问题有:模拟手工排课法,图论方法,拉格朗日法,二次分配型法等多种方法。由于课表约束复杂,用数学方法进行描述时往往导致问题规模剧烈增大,这已经成为应用数学编程解决课表问题的巨大障碍。国外的研究表明,解决大规模课表编排问题单纯靠数学方法是行不通的,而利用运筹学中分层规划的思想将问题分解,将是一个有希望得到成功的办法。

在国内,对课表问题的研究开始于80年代初期、具有代表性的有:南京工学院的UTSS(A University Timetable Scheduling System)系统,清华大学的TISER(Timetable SchedulER)系统,大连理工大学的智能教学组织管理与课程调度等,这些系统大多数都是模拟手工排课过程,以“班”为单位,运用启发式函数来进行编排的。但是这些系统课表编排系统往往比较依赖于各个学校的教学体制,不宜进行大量推广。

从实际使用的情况来看,国内外研制开发的这些软件系统在实用性上仍不尽如人意。一方面原因是作为一个很复杂的系统,排课要想面面俱到是一件很困难的事;另一方面每个学校由于其各自的特殊性,自动排课软件很难普遍实用,特别是在调度的过程中一个很小的变动,要引起全部课程的大调整,这意味着全校课程大变动,在实际的应用中这是很难实现的事。

4解决NP问题的几种算法及其比较

解决NP完全问题只能依靠近似算法,所以下面介绍几种常用算法的设计思想,包括动态规划、贪心算法、回溯法等。

动态规划法是将求解的问题一层一层地分解成一级一级、规模逐步缩小的子问题,直到可以直接求出其解的子问题为止。分解成的所有子问题按层次关系构成一颗子问题树。树根是原问题。原问题的解依赖于子问题树中所有子问题的解。动态规划算法通常用于求一个问题在某种意义下的最优解。设计一个动态规划算法,通常可按以下几个步骤进行:

1. 分析最优解的性质,并刻划其结构特征。

2. 递归的定义最优解。

3. 以自底向上的方式计算出最优解。

4. 根据计算最优解时得到的信息,构造一个最优解。

步骤1~3是动态规划算法的基本步骤。在只需要求出最优解的情形,步骤4可以省去。若需要求出问题的一个最优解,则必须执行步骤4。此时,在步骤3中计算最优解时,通常需记录更多的信息,以便在步骤4中,根据所记录的信息,快速地构造出一个最优解。

(二)贪心算法

当一个问题具有最优子结构性质时,我们会想到用动态规划法去解它,但有时会有更简单、更有效的算法,即贪心算法。顾名思义,贪心算法总是做出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不是整体最优上加以考虑,他所作出的选择只是在某种意义上的局部最优的选择。虽然贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解,但对范围相当广的许多问题它能产生整体最优解,如图的算法中单源最短路径问题,最小支撑树问题等。在一些情况下,即使贪心算法不能得到整体最优解,但其最终结果却是最优解的很好的近似解。

在贪心算法中较为有名的算法是Dijkstra算法。它作为路由算法用来寻求两个节点间的最短路径。Dijkstra算法的思想是:假若G有n个顶点,于是我们总共需要求出n-1条最短路径,求解的方法是:初试,写出V0(始顶点)到各顶点(终顶点)的路径长度,或有路径,则令路径的长度为边上的权值;或无路经,则令为∞。再按长度的递增顺序生成每条最短路径。事实上生成最短路径的过程就是不断地在始顶点V何终顶点W间加入中间点的过程,因为在每生成了一条最短路径后,就有一个该路径的终顶点U,那么那些还未生成最短路径的路径就会由于经过U而比原来的路径短,于是就让它经过U。

(三)回溯法

回溯法有“通用的解题法”之称。用它可以求出问题的所有解或任一解。概括地说,回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索法。它在包含问题所有解的一颗状态空间树上,按照深度优先的策略,从根出发进行搜索。搜索每到达状态空间树的一个节点,总是先判断以该节点为根的子树是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含,则跳过对该子树的系统搜索,一层一层地向它的祖先节点继续搜索,直到遇到一个还有未被搜索过的儿子的节点,才转向该节点的一个未曾搜索过的儿子节点继续搜索;否则,进入子树,继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时,要回溯到根,且根的所有儿子都已被搜索过才结束;而在用来求问题的任一解时,只要搜索到问题的一个解就可结束。

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